ÁLGEBRA LINEAR II
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
i) Para quaisquer vetores: 
, 
∈ W, tivermos + ∈ W.
ii) Para quaisquer a ∈ IR, ∈ W, tivermos a . ∈ W
Identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
W={(x, y, 0); com x, y e z 
IR.
= (x1, 0, y1) e = (x2, 0, y2).
+ = (x1 + x2, 0 + 0, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 0, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, 0, y1) e = (x2, 1, y2).
+ = (x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 0) e = (x2, y2, 0).
+ = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0). Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 1) = (x2, y2, 0).
+ = (x1 + x2, 1 + 0, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 0, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 01 e = (x2, y2, 0).
+ = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 0) =(x1 + x2, y1 + y2, 1) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
i) Para quaisquer vetores: , ∈ W, tivermos + ∈ W.
ii) Para quaisquer a ∈ IR, ∈ W, tivermos a . ∈ W
Identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
W={(x, y, 1); com x, y e z IR.
= (x1, y1, 1) e = (x2, y2, 0).
+ = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 0) =(x1 + x2, y1 + y2, 1) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1,1) = (x2, y2, 1).
+ = (x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, 1, y1) e = (x2, 1, y2).
+ = (x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, 0, y1) e = (x2, 1, y2).
+ = (x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 1) e = (x2, y2, 1).
+ = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 1) = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 1). Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
Multiplicando um vetor ( x1 + 3, y1, z1 + 1) por um número real que chamamos de escalar, sendo esse escalar (- 3), podemos garantir o produto, no espaço tridimensional, em:
( -3 x1 - 9, - 3 y1,- 3 z1 - 3)
( -3 x1 - 3, - 3 y1,- 3 z1 - 1)
( -3 x1 + 3, - 3 y1,- 3 z1 + 1)
( x1 - 3, y1, z1 )
( 3 x1 - 9, 3 y1, 3 z1 - 3)
Para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, sabendo que o vetor ( x1, y1, z1) e
( x2, y2, z2), podemos garantir a soma, no espaço tridimensional, se verifica em:
( z1 + x2, y1 + y2, x1 + z2)
( x1 + y1, x2 + y2, z1 + z2)
( x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
( x1 + y1 + z1 , x2 + y2+ z2)
( x1 + y2, x2 + y2, y1 + z2)
Seja ¿T : IR2 
¿IR 2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) . O polin¿ caracter¿ico ¿ado por:
p( λ )= λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ + 2
p( λ )= - λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ
p( λ )= λ2 + 2
Seja ¿T : IR2¿¿IR¿2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) .¿
Se T ¿iagonaliz¿l, pois exista uma base autovetores de T na qual a matriz (2 x 2) de T ¿xpressa pelos elementos:
Linha 1, elementos: a11 = 0 e a12¿=¿
¿; e na linha 2, elementos¿a21¿=¿¿e a22 = 0.
Linha 1, elementos: a11¿= -¿¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= - ¿.
Linha 1, elementos: a11¿= (¿+ 1)¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= (¿- 1).
Linha 1, elementos: a11 = 2 e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = 2.
Linha 1, elementos: a11 = ¿e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = -¿.
Dada a matriz A ¿¿de uma transforma¿ linear T: VV .Determinando os autovalores ¿de ¿A=¿
¿teremos como solu¿:
λ 1= - 2 e λ 2 = 2.
λ 1= - 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= 2 e λ 2 = 12.
λ 1= 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= - 2 e λ 2 = 12.
Determinando o autovetor ¿da transforma¿ linear de T = IR2¿IR2, sendo
¿T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y), para λ 1= 2¿¿encontramos:
V = (- 2y, - y) representado pelo vetor V= (- 2, - 1).
V = (y, 2y) representado pelo vetor V= (1, 2).
V = (2y, - y) representado pelo vetor V= (2, - 1).
V = ( - 2y, y) representado pelo vetor V= ( - 2, 1).
V = (2y, y) representado pelo vetor V= (2, 1).
Ao verificar se C = {(1, 2), (-2 ,-4)} é uma base de R2 .
Podemos afirmar que
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
i) Para quaisquer vetores: , ∈ W, tivermos + ∈ W.
ii) Para quaisquer a ∈ IR, ∈ W, tivermos a . ∈ W
Identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
W={(x, y, 0); com x, y e z IR.
= (x1, 0, y1) e = (x2, 0, y2).
+ = (x1 + x2, 0 + 0, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 0, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, 0, y1) e = (x2, 1, y2).
+ = (x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 0) e = (x2, y2, 0).
+ = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0). Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 1) = (x2, y2, 0).
+ = (x1 + x2, 1 + 0, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 0, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 01 e = (x2, y2, 0).
+ = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 0) =(x1 + x2, y1 + y2, 1) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
i) Para quaisquer vetores: , ∈ W, tivermos + ∈ W.
ii) Para quaisquer a ∈ IR, ∈ W, tivermos a . ∈ W
Identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
W={(x, y, 1); com x, y e z IR.
= (x1, y1, 1) e = (x2, y2, 0).
+ = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 0) =(x1 + x2, y1 + y2, 1) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1,1) = (x2, y2, 1).
+ = (x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, 1, y1) e = (x2, 1, y2).
+ = (x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, 0, y1) e = (x2, 1, y2).
+ = (x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 1) e = (x2, y2, 1).
+ = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 1) = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 1). Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
Multiplicando um vetor ( x1 + 3, y1, z1 + 1) por um número real que chamamos de escalar, sendo esse escalar (- 3), podemos garantir o produto, no espaço tridimensional, em:
( -3 x1 - 9, - 3 y1,- 3 z1 - 3)
( -3 x1 - 3, - 3 y1,- 3 z1 - 1)
( -3 x1 + 3, - 3 y1,- 3 z1 + 1)
( x1 - 3, y1, z1 )
( 3 x1 - 9, 3 y1, 3 z1 - 3)
Para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, sabendo que o vetor ( x1, y1, z1) e
( x2, y2, z2), podemos garantir a soma, no espaço tridimensional, se verifica em:
( z1 + x2, y1 + y2, x1 + z2)
( x1 + y1, x2 + y2, z1 + z2)
( x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
( x1 + y1 + z1 , x2 + y2+ z2)
( x1 + y2, x2 + y2, y1 + z2)
Seja ¿T : IR2 ¿IR 2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) . O polin¿ caracter¿ico ¿ado por:
p( λ )= λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ + 2
p( λ )= - λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ
p( λ )= λ2 + 2
Seja ¿T : IR2¿¿IR¿2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) .¿
Se T ¿iagonaliz¿l, pois exista uma base autovetores de T na qual a matriz (2 x 2) de T ¿xpressa pelos elementos:
Linha 1, elementos: a11 = 0 e a12¿=¿¿; e na linha 2, elementos¿a21¿=¿¿e a22 = 0.
Linha 1, elementos: a11¿= -¿¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= - ¿.
Linha 1, elementos: a11¿= (¿+ 1)¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= (¿- 1).
Linha 1, elementos: a11 = 2 e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = 2.
Linha 1, elementos: a11 = ¿e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = -¿.
Dada a matriz A ¿¿de uma transforma¿ linear T: VV .Determinando os autovalores ¿de ¿A=¿¿teremos como solu¿:
λ 1= - 2 e λ 2 = 2.
λ 1= - 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= 2 e λ 2 = 12.
λ 1= 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= - 2 e λ 2 = 12.
Determinando o autovetor ¿da transforma¿ linear de T = IR2¿IR2, sendo
¿T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y), para λ 1= 2¿¿encontramos:
V = (- 2y, - y) representado pelo vetor V= (- 2, - 1).
V = (y, 2y) representado pelo vetor V= (1, 2).
V = (2y, - y) representado pelo vetor V= (2, - 1).
V = ( - 2y, y) representado pelo vetor V= ( - 2, 1).
V = (2y, y) representado pelo vetor V= (2, 1).
Ao verificar se C = {(1, 2), (-2 ,-4)} é uma base de R2 .
Podemos afirmar que
= (x1, 0, y1) e
= (x2, 0, y2).
+
= (x1 + x2, 0 + 0, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 0, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, 0, y1) e
= (x2, 1, y2).
+
= (x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 0) e
= (x2, y2, 0).
+
= (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0). Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 1)
= (x2, y2, 0).
+
= (x1 + x2, 1 + 0, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 0, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 01 e
= (x2, y2, 0).
+
= (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 0) =(x1 + x2, y1 + y2, 1) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
i) Para quaisquer vetores: , ∈ W, tivermos + ∈ W.
ii) Para quaisquer a ∈ IR, ∈ W, tivermos a . ∈ W
Identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R3 pode ser considerado ou não, um subespaço vetorial, justificado pelas propriedades e operações usuais:
W={(x, y, 1); com x, y e z IR.
= (x1, y1, 1) e = (x2, y2, 0).
+ = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 0) =(x1 + x2, y1 + y2, 1) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1,1) = (x2, y2, 1).
+ = (x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, 1, y1) e = (x2, 1, y2).
+ = (x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, 0, y1) e = (x2, 1, y2).
+ = (x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 1) e = (x2, y2, 1).
+ = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 1) = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 1). Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
Multiplicando um vetor ( x1 + 3, y1, z1 + 1) por um número real que chamamos de escalar, sendo esse escalar (- 3), podemos garantir o produto, no espaço tridimensional, em:
( -3 x1 - 9, - 3 y1,- 3 z1 - 3)
( -3 x1 - 3, - 3 y1,- 3 z1 - 1)
( -3 x1 + 3, - 3 y1,- 3 z1 + 1)
( x1 - 3, y1, z1 )
( 3 x1 - 9, 3 y1, 3 z1 - 3)
Para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, sabendo que o vetor ( x1, y1, z1) e
( x2, y2, z2), podemos garantir a soma, no espaço tridimensional, se verifica em:
( z1 + x2, y1 + y2, x1 + z2)
( x1 + y1, x2 + y2, z1 + z2)
( x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
( x1 + y1 + z1 , x2 + y2+ z2)
( x1 + y2, x2 + y2, y1 + z2)
Seja ¿T : IR2 ¿IR 2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) . O polin¿ caracter¿ico ¿ado por:
p( λ )= λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ + 2
p( λ )= - λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ
p( λ )= λ2 + 2
Seja ¿T : IR2¿¿IR¿2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) .¿
Se T ¿iagonaliz¿l, pois exista uma base autovetores de T na qual a matriz (2 x 2) de T ¿xpressa pelos elementos:
Linha 1, elementos: a11 = 0 e a12¿=¿¿; e na linha 2, elementos¿a21¿=¿¿e a22 = 0.
Linha 1, elementos: a11¿= -¿¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= - ¿.
Linha 1, elementos: a11¿= (¿+ 1)¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= (¿- 1).
Linha 1, elementos: a11 = 2 e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = 2.
Linha 1, elementos: a11 = ¿e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = -¿.
Dada a matriz A ¿¿de uma transforma¿ linear T: VV .Determinando os autovalores ¿de ¿A=¿¿teremos como solu¿:
λ 1= - 2 e λ 2 = 2.
λ 1= - 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= 2 e λ 2 = 12.
λ 1= 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= - 2 e λ 2 = 12.
Determinando o autovetor ¿da transforma¿ linear de T = IR2¿IR2, sendo
¿T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y), para λ 1= 2¿¿encontramos:
V = (- 2y, - y) representado pelo vetor V= (- 2, - 1).
V = (y, 2y) representado pelo vetor V= (1, 2).
V = (2y, - y) representado pelo vetor V= (2, - 1).
V = ( - 2y, y) representado pelo vetor V= ( - 2, 1).
V = (2y, y) representado pelo vetor V= (2, 1).
Ao verificar se C = {(1, 2), (-2 ,-4)} é uma base de R2 .
Podemos afirmar que
= (x1, y1, 1) e
= (x2, y2, 0).
+
= (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 0) =(x1 + x2, y1 + y2, 1) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1,1)
= (x2, y2, 1).
+
= (x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) . Logo W é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, 1, y1) e
= (x2, 1, y2).
+
= (x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 1 + 1, y1 + y2) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, 0, y1) e
= (x2, 1, y2).
+
= (x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) =(x1 + x2, 0 + 1, y1 + y2) . Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
= (x1, y1, 1) e
= (x2, y2, 1).
+
= (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 1) = (x1 + x2, y1 + y2, 1 + 1). Logo W não é considerado um subespaço vetorial.
Multiplicando um vetor ( x1 + 3, y1, z1 + 1) por um número real que chamamos de escalar, sendo esse escalar (- 3), podemos garantir o produto, no espaço tridimensional, em:
( -3 x1 - 9, - 3 y1,- 3 z1 - 3)
( -3 x1 - 3, - 3 y1,- 3 z1 - 1)
( -3 x1 + 3, - 3 y1,- 3 z1 + 1)
( x1 - 3, y1, z1 )
( 3 x1 - 9, 3 y1, 3 z1 - 3)
Para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, sabendo que o vetor ( x1, y1, z1) e
( x2, y2, z2), podemos garantir a soma, no espaço tridimensional, se verifica em:
( z1 + x2, y1 + y2, x1 + z2)
( x1 + y1, x2 + y2, z1 + z2)
( x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
( x1 + y1 + z1 , x2 + y2+ z2)
( x1 + y2, x2 + y2, y1 + z2)
Seja ¿T : IR2 ¿IR 2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) . O polin¿ caracter¿ico ¿ado por:
p( λ )= λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ + 2
p( λ )= - λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ
p( λ )= λ2 + 2
Seja ¿T : IR2¿¿IR¿2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) .¿
Se T ¿iagonaliz¿l, pois exista uma base autovetores de T na qual a matriz (2 x 2) de T ¿xpressa pelos elementos:
Linha 1, elementos: a11 = 0 e a12¿=¿¿; e na linha 2, elementos¿a21¿=¿¿e a22 = 0.
Linha 1, elementos: a11¿= -¿¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= - ¿.
Linha 1, elementos: a11¿= (¿+ 1)¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= (¿- 1).
Linha 1, elementos: a11 = 2 e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = 2.
Linha 1, elementos: a11 = ¿e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = -¿.
Dada a matriz A ¿¿de uma transforma¿ linear T: VV .Determinando os autovalores ¿de ¿A=¿¿teremos como solu¿:
λ 1= - 2 e λ 2 = 2.
λ 1= - 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= 2 e λ 2 = 12.
λ 1= 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= - 2 e λ 2 = 12.
Determinando o autovetor ¿da transforma¿ linear de T = IR2¿IR2, sendo
¿T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y), para λ 1= 2¿¿encontramos:
V = (- 2y, - y) representado pelo vetor V= (- 2, - 1).
V = (y, 2y) representado pelo vetor V= (1, 2).
V = (2y, - y) representado pelo vetor V= (2, - 1).
V = ( - 2y, y) representado pelo vetor V= ( - 2, 1).
V = (2y, y) representado pelo vetor V= (2, 1).
Ao verificar se C = {(1, 2), (-2 ,-4)} é uma base de R2 .
Podemos afirmar que
( -3 x1 - 9, - 3 y1,- 3 z1 - 3)
( -3 x1 - 3, - 3 y1,- 3 z1 - 1)
( -3 x1 + 3, - 3 y1,- 3 z1 + 1)
( x1 - 3, y1, z1 )
( 3 x1 - 9, 3 y1, 3 z1 - 3)
Para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, sabendo que o vetor ( x1, y1, z1) e
( x2, y2, z2), podemos garantir a soma, no espaço tridimensional, se verifica em:
( z1 + x2, y1 + y2, x1 + z2)
( x1 + y1, x2 + y2, z1 + z2)
( x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
( x1 + y1 + z1 , x2 + y2+ z2)
( x1 + y2, x2 + y2, y1 + z2)
Seja ¿T : IR2 ¿IR 2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) . O polin¿ caracter¿ico ¿ado por:
p( λ )= λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ + 2
p( λ )= - λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ
p( λ )= λ2 + 2
Seja ¿T : IR2¿¿IR¿2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) .¿
Se T ¿iagonaliz¿l, pois exista uma base autovetores de T na qual a matriz (2 x 2) de T ¿xpressa pelos elementos:
Linha 1, elementos: a11 = 0 e a12¿=¿¿; e na linha 2, elementos¿a21¿=¿¿e a22 = 0.
Linha 1, elementos: a11¿= -¿¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= - ¿.
Linha 1, elementos: a11¿= (¿+ 1)¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= (¿- 1).
Linha 1, elementos: a11 = 2 e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = 2.
Linha 1, elementos: a11 = ¿e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = -¿.
Dada a matriz A ¿¿de uma transforma¿ linear T: VV .Determinando os autovalores ¿de ¿A=¿¿teremos como solu¿:
λ 1= - 2 e λ 2 = 2.
λ 1= - 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= 2 e λ 2 = 12.
λ 1= 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= - 2 e λ 2 = 12.
Determinando o autovetor ¿da transforma¿ linear de T = IR2¿IR2, sendo
¿T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y), para λ 1= 2¿¿encontramos:
V = (- 2y, - y) representado pelo vetor V= (- 2, - 1).
V = (y, 2y) representado pelo vetor V= (1, 2).
V = (2y, - y) representado pelo vetor V= (2, - 1).
V = ( - 2y, y) representado pelo vetor V= ( - 2, 1).
V = (2y, y) representado pelo vetor V= (2, 1).
Ao verificar se C = {(1, 2), (-2 ,-4)} é uma base de R2 .
Podemos afirmar que
( z1 + x2, y1 + y2, x1 + z2)
( x1 + y1, x2 + y2, z1 + z2)
( x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
( x1 + y1 + z1 , x2 + y2+ z2)
( x1 + y2, x2 + y2, y1 + z2)
Seja ¿T : IR2 ¿IR 2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) . O polin¿ caracter¿ico ¿ado por:
p( λ )= λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ + 2
p( λ )= - λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ
p( λ )= λ2 + 2
Seja ¿T : IR2¿¿IR¿2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) .¿
Se T ¿iagonaliz¿l, pois exista uma base autovetores de T na qual a matriz (2 x 2) de T ¿xpressa pelos elementos:
Linha 1, elementos: a11 = 0 e a12¿=¿¿; e na linha 2, elementos¿a21¿=¿¿e a22 = 0.
Linha 1, elementos: a11¿= -¿¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= - ¿.
Linha 1, elementos: a11¿= (¿+ 1)¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= (¿- 1).
Linha 1, elementos: a11 = 2 e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = 2.
Linha 1, elementos: a11 = ¿e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = -¿.
Dada a matriz A ¿¿de uma transforma¿ linear T: VV .Determinando os autovalores ¿de ¿A=¿¿teremos como solu¿:
λ 1= - 2 e λ 2 = 2.
λ 1= - 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= 2 e λ 2 = 12.
λ 1= 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= - 2 e λ 2 = 12.
Determinando o autovetor ¿da transforma¿ linear de T = IR2¿IR2, sendo
¿T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y), para λ 1= 2¿¿encontramos:
V = (- 2y, - y) representado pelo vetor V= (- 2, - 1).
V = (y, 2y) representado pelo vetor V= (1, 2).
V = (2y, - y) representado pelo vetor V= (2, - 1).
V = ( - 2y, y) representado pelo vetor V= ( - 2, 1).
V = (2y, y) representado pelo vetor V= (2, 1).
Ao verificar se C = {(1, 2), (-2 ,-4)} é uma base de R2 .
Podemos afirmar que
p( λ )= λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ + 2
p( λ )= - λ2 - 2
p( λ )= λ2 - 2 λ
p( λ )= λ2 + 2
Seja ¿T : IR2¿¿IR¿2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) .¿
Se T ¿iagonaliz¿l, pois exista uma base autovetores de T na qual a matriz (2 x 2) de T ¿xpressa pelos elementos:
Linha 1, elementos: a11 = 0 e a12¿=¿¿; e na linha 2, elementos¿a21¿=¿¿e a22 = 0.
Linha 1, elementos: a11¿= -¿¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= - ¿.
Linha 1, elementos: a11¿= (¿+ 1)¿¿e a12¿= 0; e na linha 2, elementos a21¿= 0 e a22¿= (¿- 1).
Linha 1, elementos: a11 = 2 e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = 2.
Linha 1, elementos: a11 = ¿e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = -¿.
Dada a matriz A ¿¿de uma transforma¿ linear T: VV .Determinando os autovalores ¿de ¿A=¿¿teremos como solu¿:
λ 1= - 2 e λ 2 = 2.
λ 1= - 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= 2 e λ 2 = 12.
λ 1= 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= - 2 e λ 2 = 12.
Determinando o autovetor ¿da transforma¿ linear de T = IR2¿IR2, sendo
¿T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y), para λ 1= 2¿¿encontramos:
V = (- 2y, - y) representado pelo vetor V= (- 2, - 1).
V = (y, 2y) representado pelo vetor V= (1, 2).
V = (2y, - y) representado pelo vetor V= (2, - 1).
V = ( - 2y, y) representado pelo vetor V= ( - 2, 1).
V = (2y, y) representado pelo vetor V= (2, 1).
Ao verificar se C = {(1, 2), (-2 ,-4)} é uma base de R2 .
Podemos afirmar que
Linha 1, elementos: a11 = 0 e a12¿=¿
Linha 1, elementos: a11¿= -¿
Linha 1, elementos: a11¿= (
Linha 1, elementos: a11 = 2 e a12 = 0; e na linha 2, elementos a21 = 0 e a22 = 2.
Linha 1, elementos: a11 =
Dada a matriz A ¿¿de uma transforma¿ linear T: VV .Determinando os autovalores ¿de ¿A=¿¿teremos como solu¿:
λ 1= - 2 e λ 2 = 2.
λ 1= - 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= 2 e λ 2 = 12.
λ 1= 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= - 2 e λ 2 = 12.
Determinando o autovetor ¿da transforma¿ linear de T = IR2¿IR2, sendo
¿T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y), para λ 1= 2¿¿encontramos:
V = (- 2y, - y) representado pelo vetor V= (- 2, - 1).
V = (y, 2y) representado pelo vetor V= (1, 2).
V = (2y, - y) representado pelo vetor V= (2, - 1).
V = ( - 2y, y) representado pelo vetor V= ( - 2, 1).
V = (2y, y) representado pelo vetor V= (2, 1).
Ao verificar se C = {(1, 2), (-2 ,-4)} é uma base de R2 .
Podemos afirmar que
λ 1= - 2 e λ 2 = 2.
λ 1= - 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= 2 e λ 2 = 12.
λ 1= 2 e λ 2 = - 12.
λ 1= - 2 e λ 2 = 12.
Determinando o autovetor ¿da transforma¿ linear de T = IR2¿IR2, sendo
¿T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y), para λ 1= 2¿¿encontramos:
V = (- 2y, - y) representado pelo vetor V= (- 2, - 1).
V = (y, 2y) representado pelo vetor V= (1, 2).
V = (2y, - y) representado pelo vetor V= (2, - 1).
V = ( - 2y, y) representado pelo vetor V= ( - 2, 1).
V = (2y, y) representado pelo vetor V= (2, 1).
Ao verificar se C = {(1, 2), (-2 ,-4)} é uma base de R2 .
Podemos afirmar que
V = (- 2y, - y) representado pelo vetor V= (- 2, - 1).
V = (y, 2y) representado pelo vetor V= (1, 2).
V = (2y, - y) representado pelo vetor V= (2, - 1).
V = ( - 2y, y) representado pelo vetor V= ( - 2, 1).
V = (2y, y) representado pelo vetor V= (2, 1).